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A new fast and accurate grid deformation method for r-adaptivity in the context of high performance computin

Matthias Grajewski

ISBN 978-3-8325-1903-2
158 pages, year of publication: 2008
price: 40.50 €
Thema der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung und Realisierung einer neuen Methode zur Gitterdeformation im Hinblick auf die Anwendung in $r$- und $rh$-adaptiven Verfahren. Das neu entwickelte Verfahren wird sowohl numerisch als auchtheoretisch analysiert.

Die vorliegende Arbeit ist in sechs Kapitel gegliedert.Das erste Kapitel stellt den gegenwärtigen Stand der Mathematik auf den Gebieten Fehlerkontrolle und Gittersteuerung dar. Besonderes Augenmerk liegt auf einer übersicht gängiger Verfahren zur Gitterdeformation, also Methoden zur Neuanordnung der Punkte eines gegebenen Gitters unter Beibehaltung seiner Topologie. Hinzu kommt die Darstellung des Aspekts der hardware-orientierten Numerik. Hier geht es darum, durch ein geeignetes Design der numerischen Verfahren die Leistungsfähigkeit heutiger Computer voll auszuschöpfen.

Im zweiten Kapitel wird das Basisverfahren zur Gitterdeformation hergeleitet und grundlegende Eigenschaften der Methode bewiesen. Das neue Verfahren wird mit dem Vorläuferverfahren von Liao verglichen, wobei die weitaus größere Flexibilität der neuen Methode deutlich wird. Im letzten Teil dieses Kapitels wird die numerische Realisierung der Deformationsmethode mithilfe von FE-Ansätzen thematisiert.

Das dritte Kapitel beinhaltet den Kern der Dissertation: Die theoretische und numerische Analyse des im zweiten Kapitel vorgestellten Basisverfahrens. Nach der Formulierung eines geeigneten Konvergenzbegriffes wird die Konvergenz der numerischen Realisierung des Deformationsverfahrens bewiesen. Sowohl der Konvergenzbegriff als auch die Konvergenzaussage sind neu und wurden bisher in der Literatur auch nicht in ähnlicher Weise formuliert. Ausführliche numerische Tests bestätigen die theoretischen Ergebnisse. Das in Kapitel 2 eingeführte Basisverfahren wird hinsichtlich Genauigkeit und Robustheit weiterentwickelt. Durch geeignete Ausnutzung der Gitterhierarchie gelingt es mit der sog. Multilevel-Deformation ein Verfahren bereitzustellen, welches von optimaler Komplexität ist. Im letzten Teil des Kapitels wird diese Multilevel-Deformation auf das L-Gebiet angewandt.

Den Schwerpunkt im vierten Kapitel bildet die Anwendung der Gitterdeformation auf die Poisson-Gleichung auf dem L-Gebiet. Der Gradientenfehler wird auf a priori deformierten Gittern betrachtet. Die mit der Gitterdeformation erzeugten Gitter ermöglichen eine für Q_1-Elemente optimale Konvergenzordnung. Nach einer numerischen Untersuchung des ZZ-Schätzers auf solchen Gittern wird ein voll r-adaptiver Algorithmus formuliert und getestet. Die Gitterdeformation wird nun vollautomatisch durch der geschätzten Fehlerverteilung gesteuert. Die so gewonnenen Ergebnisse sind in ihrer Genauigkeit mit den a priori gewonnen Resultaten vergleichbar.

Das fünfte Kapitel beinhaltet eine Erweiterung des zuvor eingeführten r-adaptiven Verfahrens um reguläre Gitterverfeinerung und ihre Anwendung auf die Laplace-Gleichung auf dem L-Gebiet. Es werden zwei rh-adaptive Algorithmen betrachtet. Der zweite Algorithmus verzichtet auf hängende Knoten und erweist sich dem ersten als überlegen; die Resultate entsprechen in ihrer Genauigkeit etwa den mit reiner r-Adaptivität gewonnen Werten, erfordern aber eine erheblich geringere Rechenzeit. Im letzten Abschnitt wird die zuvor entwickelte rh-adaptive Methode auf Diffusionsprobleme mit anisotropem Diffusionstensor angewendet, die sich aus Problemen des Grundwasserflusses motivieren. Mithilfe des rh-adaptiven Verfahrens können nicht nur der Gradientenfehler, sondern auch abgeleitete Größen wie der Punktfehler signifikant verringert werden. Hierbei wird die Verteilung des Punktfehlers mithilfe der DWR-Methode ermittelt. Das sechste und letzte Kapitel beinhaltet eine Zusammenfassung der Arbeit und zeigt Ansatzpunkte für eine Fortentwicklung auf.

Keywords:
  • numerische Mathematik
  • Finite Elemente Methode
  • Fehlerkontrolle
  • Adaptivität

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